Movimento retilíneo
Denomina-se movimento retilíneo, aquele cuja trajetória é uma linha reta.Na reta situamos uma origem O, onde estará um observador que medirá a posição do móvel x no instante t. As posições serão positivas se o móvel está a direita da origem e negativas se está a esquerda da origem.
Posição
A posição x do móvel pode ser relacionada com o tempo t mediante uma função x=f(t).Deslocamento
Suponhamos agora que no instante t, o móvel se encontra na posição x, mais tarde, no instante t' o móvel se encontrará na posição x'. Dizemos que o móvel se deslocou Dx=x'-x no intervalo de tempo Dt=t'-t, medido desde o instante t ao instante t'.
Velocidade
A velocidade media entre os instantes t e t' é definida porPara determinar a velocidade no instante t, devemos fazer o intervalo de tempo Dt tão pequeno quanto possível, no limite quando Dt tende a zero.
Porém este limite, é a definição de derivada de x relativa ao tempo t.
Para compreender melhor o conceito de velocidade média, vamos resolver o exercício seguinte.
Exercício
Uma partícula se move ao longo do eixo X, de maneira que sua posição em qualquer instante t é dada por x=5·t2+1, onde x é expresso em metros e t em segundos.
Calcular sua velocidade média no intervalo de tempo entre:
-
2 e 3 s. -
2 e 2.1 s. -
2 e 2.01 s. -
2 e 2.001 s. -
2 e 2.0001 s. -
Calcula a velocidade no instante t=2 s.
No instante t=2 s, x=21 m | ||||
t’ (s) | x’ (m) | Δx=x'-x | Δt=t'-t | m/s |
3 | 46 | 25 | 1 | 25 |
2.1 | 23.05 | 2.05 | 0.1 | 20.5 |
2.01 | 21.2005 | 0.2005 | 0.01 | 20.05 |
2.001 | 21.020005 | 0.020005 | 0.001 | 20.005 |
2.0001 | 21.00200005 | 0.00200005 | 0.0001 | 20.0005 |
... | ... | ... | ... | ... |
0 | 20 |
Como podemos ver na tabela, quando o intervalo Δt→0, a velocidade média tende a 20 m/s. A velocidade no instante t=2 s é uma velocidade média calculada em um intervalo de tempo que tende a zero.
Calculo da velocidade em qualquer instante t
-
A posição do móvel no instante t é x=5t2+1 -
A posição do móvel no instante t+Dt é x'=5(t+Dt)2+1=5t2+10tDt+5Dt2+1 -
O deslocamento é Dx=x'-x=10tDt+5Dt2 -
A velocidade média <v> é
A velocidade no instante t é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero
A velocidade no instante t pode ser calculada diretamente, calculando a derivada da posição x relativo ao tempo.
No instante t=2 s, v=20 m/s
Aceleração
Em geral, a velocidade de um corpo é uma função do tempo. Suponhamos que no instante t a velocidade do móvel é v, e no instante t' a velocidade do móvel é v'. Denomina-se aceleração média entre os instantes t e t' ao quociente entre a variação de velocidade Dv=v'-v e o intervalo de tempo gasto para efetuar esta variação, Dt=t'-t.
A aceleração no instante t é o limite da aceleração média quando o intervalo Dt tende a zero, que é a definição da derivada de v.
Exemplo:
Um corpo se move ao longo de uma linha reta x(t)=2t3-4t2+5 m. Calcular a expressão de:
-
A velocidade -
A aceleração do móvel em função do tempo.
Dada a velocidade do móvel calcular o deslocamento
Conhecendo um registro da velocidade podemos calcular o deslocamento x-x0 do móvel entre os instantes t0 e t, mediante a integral definida.O produto v dt representa o deslocamento do móvel entre os instantes t e t+dt, ou no intervalo dt. O deslocamento total é a soma dos infinitos deslocamentos infinitesimais entre os instantes t0 e t.
A figura, mostra um gráfico da velocidade em função do tempo, a área em cor azul claro mede o deslocamento total do móvel entre os instantes t0 e t, o segmento em cor azul marcado na trajetória reta.Calculamos a posição x do móvel no instante t, somando a posição inicial x0 ao deslocamento, calculado mediante a medida da área abaixo da curva v-t ou mediante cálculo da integral definida na fórmula anterior. |
Exemplo:
Um corpo se move ao longo de uma linha reta de acordo com a lei v=t3-4t2 +5 m/s. Se no instante t0=2 s, está situado em x0=4 m da origem. Calcular a posição x do móvel em qualquer instante.
Dada a aceleração do móvel calcular a variação de velocidade
Do mesmo modo, que calculamos o deslocamento do móvel entre os instantes t0 e t, a partir de um registro da velocidade v em função do tempo t, podemos calcular a variação de velocidade v-v0 que experimenta o móvel entre estes instantes, a partir de um registro da aceleração em função do tempo.Na figura, a variação de velocidade v-v0 é a área sob a curva a-t, ou o valor numérico da integral definida na fórmula anterior.Conhecendo a variação de velocidade v-v0, e o valor inicial v0 no instante t0, podemos calcular a velocidade v no instante t. |
A aceleração de um corpo que se move ao longo de uma linha reta é dada pela expressão. a(t)=4-t2 m/s2. Sabendo que no instante t0=3 s, a velocidade do móvel vale v0=2 m/s. Determinar a expressão da velocidade do móvel em qualquer instante
Resumindo, as fórmulas empregadas para resolver problemas de movimento retilíneo são
Movimento retilíneo uniforme
Um movimento retilíneo uniforme é aquele cuja velocidade é constante, por tanto, a aceleração é zero. A posição x do móvel no instante t podemos calcular integrando ou graficamente, na representação de v em função de t. |
Movimento retilíneo uniformemente acelerado
Um movimento uniformemente acelerado é aquele cuja aceleração é constante. Dada a aceleração podemos obter a variação de velocidade v-v0 entre os instantes t0 e t, mediante integração, ou graficamente. | |
Dada a velocidade em função do tempo, obtemos o deslocamento x-x0 do móvel entre os instantes t0 e t, graficamente (área de um retângulo + área de um triângulo), ou integrando |
Explicitando o tempo t da segunda equação e substituindo na terceira, relacionamos a velocidade v com o deslocamento x-x0
Interpretação geométrica da derivada
A simulação seguinte, pode nos ajudar a entender o conceito de derivada e a interpretação geométrica da derivada
Escolha a função a representar no controle de seleção titulado Função, entre as seguintes:
Clique o botão titulado Novo
Observe a representação da função escolhida
Com o ponteiro do mouse mova o quadrado de cor azul, para selecionar uma abscissa t0.
Escolha o aumento, 10, 100, ou 1000 no controle de seleção titulado Aumento
-
Quando escolhemos 100 ou 1000, a representação gráfica da função é quase um segmento retilíneo. Medimos sua inclinação com ajuda da linhas tracejadas sobre a representação gráfica -
Calculamos a derivada da função no ponto de abscissa t0 escolhido -
Comprovamos a coincidência da medida da inclinação e o valor da derivada em t0.
Exemplo:
Escolhemos a primeira função e o ponto t0=3.009
Escolhemos a ampliação 1000. A inclinação da reta vale -1, como é mostrado na figura.
A derivada desta função é
para t0=3.0 a derivada vale -1.0
Integral definidaDada a velocidade do móvel em função do tempo, vamos calcular o deslocamento do móvel entre os instantes t0 e t. Nos casos em que a velocidade é constante ou varia linearmente com o tempo, o deslocamento é calculado facilmente
Em outros casos, podemos calcular o deslocamento aproximado, seguindo o procedimento mostrado na figura No instante ti-1 a velocidade do móvel é vi-1, e no instante ti a velocidade do móvel é vi. A velocidade média <vi> no intervalo de tempo Δti=ti-ti-1 compreendido entre ti-1 e ti é O deslocamento do móvel durante o intervalo de tempo Δti=ti-ti-1 compreendido entre ti-1 e ti é aproximadamente a área do retângulo <vi>·Δti. O deslocamento total x-x0 entre o instante inicial t0, e o instante final t=tn é, aproximadamente donde n é o número de intervalos Se v=-t2+14t+21 (m/s) e tomamos n=10 intervalos iguais, entre o instante t0=0 e t=10 s o deslocamento aproximado vale x-x0≈27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 m Quando o número de intervalos em que é dividido em um intervalo dado (t0, t) é muito grande Δti→0. No limite, o deslocamento é expresso como Se v=-t2+14t+21 (m/s), o deslocamento entre o instante t0=0 e t=10 s vale AtividadesEscolha a função a representar no controle de seleção titulado Função, entre as seguintes:v=-t2+14t+21 v=-8t+60 v=35 v=2t2-12t-12 v=2t3 Clique no botão titulado Novo Arraste com o ponteiro do mouse o pequeno quadrado de cor azul, e clique o botão titulado Área. Continue a arrastar o pequeno quadrado de cor azul, e volte a clicar no botão titulado Área e assim sucessivamente, até um máximo de 15 vezes. É mostrada e calculada a área <vi>·Δti de cada retângulo que é somada a área calculada previamente. |
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