Movimento retilíneo

Denomina-se movimento retilíneo, aquele cuja trajetória é uma linha reta.

Na reta situamos uma origem O, onde estará um observador que medirá a posição do móvel x no instante t. As posições serão positivas se o móvel está a direita da origem e negativas se está a esquerda da origem.

Posição

A posição x do móvel pode ser relacionada com o tempo t mediante uma função x=f(t).

Deslocamento
Suponhamos agora que no instante t, o móvel se encontra na posição x, mais tarde, no instante t' o móvel se encontrará na posição x'. Dizemos que o móvel se deslocou Dx=x'-x no intervalo de tempo Dt=t'-t, medido desde o instante t ao instante t'.

Velocidade

A velocidade media entre os instantes t e t' é definida por

Para determinar a velocidade no instante t, devemos fazer o intervalo de tempo Dt tão pequeno quanto possível, no limite quando Dt tende a zero.

Porém este limite, é a definição de derivada de x relativa ao tempo t.
Para compreender melhor o conceito de velocidade média, vamos resolver o exercício seguinte.
Exercício

Uma partícula se move ao longo do eixo X, de maneira que sua posição em qualquer instante t é dada por x=5·t²+1, onde x é expresso em metros e t em segundos.

Calcular sua velocidade média no intervalo de tempo entre:

• 
  
  
   2 e 3 s.
• 
  
  
   2 e 2.1 s.
• 
  
  
   2 e 2.01 s.
• 
  
  
   2 e 2.001 s.
• 
  
  
   2 e 2.0001 s.
• 
  
  
   Calcula a velocidade no instante t=2 s.

No instante t=2 s, x=21 m
t’ (s)	x’ (m)	Δx=x'-x	Δt=t'-t	m/s
3	46	25	1	25
2.1	23.05	2.05	0.1	20.5
2.01	21.2005	0.2005	0.01	20.05
2.001	21.020005	0.020005	0.001	20.005
2.0001	21.00200005	0.00200005	0.0001	20.0005
...	...	...	...	...
			0	20

Como podemos ver na tabela, quando o intervalo Δt→0, a velocidade média tende a 20 m/s. A velocidade no instante t=2 s é uma velocidade média calculada em um intervalo de tempo que tende a zero.

Calculo da velocidade em qualquer instante t

• 
  
  
  A posição do móvel no instante t é x=5t²+1
• 
  
  
  A posição do móvel no instante t+Dt é  x'=5(t+Dt)²+1=5t²+10tDt+5Dt²+1
• 
  
  
  O deslocamento é Dx=x'-x=10tDt+5Dt²
• 
  
  
  A velocidade média <v> é

A velocidade no instante t é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero

A velocidade no instante t pode ser calculada diretamente, calculando a derivada da posição x relativo ao tempo.

No instante t=2 s, v=20 m/s

Aceleração

Em geral, a velocidade de um corpo é uma função do tempo. Suponhamos que no instante t a velocidade do móvel é v, e no instante t' a velocidade do móvel é v'. Denomina-se aceleração média entre os instantes t e t' ao quociente entre a variação de velocidade Dv=v'-v e o intervalo de tempo gasto para efetuar esta variação, Dt=t'-t.

A aceleração no instante t é o limite da aceleração média quando o intervalo Dt tende a zero, que é a definição da derivada de v.

Exemplo:

Um corpo se move ao longo de uma linha reta x(t)=2t³-4t²+5 m. Calcular a expressão de:

• 
  
  
  A velocidade
• 
  
  
  A aceleração do móvel em função do tempo.

Dada a velocidade do móvel calcular o deslocamento

Conhecendo um registro da velocidade podemos calcular o deslocamento x-x₀ do móvel entre os instantes t₀ e t, mediante a integral definida.

O produto v dt representa o deslocamento do móvel entre os instantes t e t+dt, ou no intervalo dt. O deslocamento total é a soma dos infinitos deslocamentos infinitesimais entre os instantes t₀ e t.

A figura, mostra um gráfico da velocidade em função do tempo, a área em cor azul claro mede o deslocamento total do móvel entre os instantes t0 e t, o segmento em cor azul marcado na trajetória reta.Calculamos a posição x do móvel no instante t, somando a posição inicial x0 ao deslocamento, calculado mediante a medida da área abaixo da curva v-t ou mediante cálculo da integral definida na fórmula anterior.

Exemplo:

Um corpo se move ao longo de uma linha reta de acordo com a lei v=t³-4t² +5 m/s. Se no instante t₀=2 s, está situado em x₀=4 m da origem. Calcular a posição x do móvel em qualquer instante.

Dada a aceleração do móvel calcular a variação de velocidade

Do mesmo modo, que calculamos o deslocamento do móvel entre os instantes t₀ e t, a partir de um registro da velocidade v em função do tempo t, podemos calcular a variação de velocidade v-v₀ que experimenta o móvel entre estes instantes, a partir de um registro da aceleração em função do tempo.

Na figura,  a variação de velocidade v-v0 é a área sob a curva a-t, ou o valor numérico da integral definida na fórmula anterior.Conhecendo a variação de velocidade v-v0, e o valor inicial v0 no instante t0, podemos calcular a velocidade v no instante t.

Exemplo:

A aceleração de um corpo que se move ao longo de uma linha reta é dada pela expressão. a(t)=4-t² m/s². Sabendo que no instante t₀=3 s, a velocidade do móvel vale v₀=2 m/s. Determinar a expressão da velocidade do móvel em qualquer instante

Resumindo, as fórmulas empregadas para resolver problemas de movimento retilíneo são

Movimento retilíneo uniforme

Um movimento retilíneo uniforme é aquele cuja velocidade é constante, por tanto, a aceleração é zero. A posição x do móvel no instante t podemos calcular integrando ou graficamente, na representação de v em função de t.

Habitualmente, o instante inicial t₀ é tomado como zero, que torna as equações do movimento uniforme

Movimento retilíneo uniformemente acelerado

	Um movimento uniformemente acelerado é aquele cuja aceleração é constante. Dada a aceleração podemos obter a variação de velocidade v-v0 entre os instantes t0 e t, mediante integração, ou graficamente.
	Dada a velocidade em função do tempo, obtemos o deslocamento x-x0 do móvel entre os instantes t0 e t, graficamente (área de um retângulo + área de um triângulo), ou integrando

Habitualmente, o instante inicial t₀ é tomado como zero, temos as fórmulas do movimento retilíneo uniformemente acelerado, as seguintes.

Explicitando o tempo t da segunda equação  e substituindo na terceira, relacionamos a velocidade v com o deslocamento x-x₀

Interpretação geométrica da derivada

A simulação seguinte, pode nos ajudar a entender o conceito de derivada e a interpretação geométrica da derivada

Escolha a função a representar no controle de seleção titulado Função,  entre as seguintes:

Clique o botão titulado Novo

Observe a representação da função escolhida

Com o ponteiro do mouse mova o quadrado de cor azul, para selecionar uma abscissa t₀.

Escolha o aumento, 10, 100, ou 1000 no controle de seleção titulado Aumento

• 
  
  
  Quando escolhemos 100 ou 1000, a representação gráfica da função é quase um segmento retilíneo. Medimos sua inclinação com ajuda da linhas tracejadas sobre a representação gráfica
• 
  
  
  Calculamos a derivada da função no ponto de abscissa t₀ escolhido
• 
  
  
  Comprovamos a coincidência da medida da inclinação e o valor da derivada em t₀.

Exemplo:

Escolhemos a primeira função e o ponto t₀=3.009

Escolhemos a ampliação 1000.  A inclinação da reta vale -1, como é mostrado na figura.

A derivada desta função é

para t₀=3.0 a derivada vale -1.0

	Integral definida Dada a velocidade do móvel em função do tempo, vamos calcular o deslocamento do móvel entre os instantes t0 e t.  Nos casos em que a velocidade é constante ou varia linearmente com o tempo, o deslocamento é calculado facilmente Se v=35 m/s, o deslocamento do móvel entre os instantes t0=0 e t=10 s é Δx=35·10=350 m Se v=6·t, o deslocamento do móvel entre os instantes t0=0 e t=10 s é a área do triângulo de cor azul claro Δx=(60·10)/2=300 m Se v=-8·t+60. o deslocamento do móvel entre os instantes t0=0 e t=10 s é a soma das áreas dos triângulos: o da esquerda tem uma área de (7.5·60)/2=225  e o da direita tem uma área de (-20·2.5)/2=-25. O deslocamento é a área total Δx=225+(-25)=200 m Em outros casos, podemos calcular o deslocamento aproximado, seguindo o procedimento mostrado na figura No instante ti-1 a velocidade do móvel é vi-1, e no instante ti a velocidade do móvel é vi. A velocidade média <vi> no intervalo de tempo Δti=ti-ti-1 compreendido entre ti-1 e ti é O deslocamento do móvel durante o intervalo de tempo Δti=ti-ti-1 compreendido entre ti-1 e ti é aproximadamente a área do retângulo <vi>·Δti. O deslocamento total x-x0 entre o instante inicial t0, e o instante final t=tn é, aproximadamente donde n é o número de intervalos Se v=-t2+14t+21 (m/s) e tomamos n=10 intervalos iguais, entre o instante t0=0 e t=10 s o deslocamento aproximado vale x-x0≈27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 m Quando o número de intervalos em que é dividido em um intervalo dado (t0, t) é muito grande Δti→0. No limite, o deslocamento é expresso como Se v=-t2+14t+21 (m/s), o deslocamento entre o instante t0=0 e t=10 s vale Atividades Escolha a função a representar no controle de seleção titulado Função, entre as seguintes: v=-t2+14t+21 v=-8t+60 v=35 v=2t2-12t-12 v=2t3 Clique no botão titulado Novo Arraste com o ponteiro do mouse o pequeno quadrado de cor azul, e clique o botão titulado Área. Continue a arrastar o pequeno quadrado de cor azul, e volte a clicar no botão titulado Área e assim sucessivamente, até um máximo de 15 vezes. É mostrada e calculada a área <vi>·Δti de cada retângulo que é somada a área calculada previamente.